基本不等式的应用教案

jiayaozb.com2025年06月03日 14:15100

教学目标

知识与技能目标

学生能够理解基本不等式(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})（(a,b \geq 0)，当且仅当(a = b)时等号成立）的证明过程，并掌握其几何意义。
熟练运用基本不等式解决一些简单的最值问题,包括和与积的转化问题。

过程与方法目标

通过对基本不等式的推导,培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
经历运用基本不等式解决实际问题的过程,体会从数学角度思考和解决问题的方法，提高学生数学建模和数学运算能力。

情感态度与价值观目标

通过探究基本不等式的应用,激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
让学生体会数学在实际生活中的广泛应用,感受数学的应用价值，增强学生学习数学的自信心。

教学重难点

教学重点

基本不等式的证明及其几何意义。
运用基本不等式求最值的方法和技巧。

教学难点

理解基本不等式等号成立的条件,并能在解题中正确运用。
如何引导学生将实际问题转化为数学问题,建立数学模型，然后运用基本不等式求解。

教学方法

讲授法、讨论法、练习法相结合

教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

同学们,在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到一些求最值的问题，用一定长度的篱笆围成一个矩形花园，怎样围才能使花园的面积最大呢🧐？再比如，要制作一个容积一定的圆柱形罐头盒，怎样设计它的尺寸才能使所用材料最省呢🤔？这些问题都与我们今天要学习的基本不等式有着密切的联系，让我们一起探索基本不等式的奥秘吧😃！

（二）讲授新课（25 分钟）

基本不等式的推导

我们来看一个简单的几何图形,已知直角三角形的斜边为(a + b)，两直角边分别为(a)和(b)，根据勾股定理，斜边上的高为(h)，则有(h = \frac{2ab}{a + b})。
观察图形可以发现,直角三角形斜边上的高(h)不大于斜边的一半，即(h \leq \frac{a + b}{2})，\frac{2ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{2})。
因为(a,b \geq 0)，两边同时乘以(\frac{a + b}{2})，就得到了基本不等式(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})。
当且仅当直角三角形为等腰直角三角形,即(a = b)时，等号成立。
我们用代数方法来证明基本不等式。
对((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2)进行展开，得到((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b)。
因为任何数的平方都大于等于(0)，(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0)，即(a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0)。
移项可得(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，当且仅当(\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0)，也就是(a = b)时，等号成立。

基本不等式的几何意义

以(a + b)为直径作圆，在直径(AB)上取一点(C)，使(AC = a)，(CB = b)。
过点(C)作垂直于直径(AB)的弦(DD')，连接(AD)、(BD)。
根据圆的性质,(\triangle ABD)是直角三角形，由射影定理可得(CD^2 = AC \cdot CB = ab)，即(CD = \sqrt{ab})。
而圆的半径为(\frac{a + b}{2})，显然(CD \leq)半径，\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})。
当且仅当点(C)为圆心，即(a = b)时，等号成立，这就是基本不等式的几何意义😃。

（三）例题讲解（20 分钟）

例 1：已知(x \gt 0)，求(y = x + \frac{1}{x})的最小值。

解：因为(x \gt 0)，根据基本不等式(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，对于(y = x + \frac{1}{x})，这里(a = x)，(b = \frac{1}{x})。
则(y = x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2)。
当且仅当(x = \frac{1}{x})，即(x = 1)时，等号成立，y = x + \frac{1}{x})的最小值为(2)。

例 2：已知(x \lt 0)，求(y = x + \frac{1}{x})的最大值。

解：因为(x \lt 0)，则(-x \gt 0)。
y = x + \frac{1}{x} = -\left[(-x) + \frac{1}{-x}\right])。
根据基本不等式,((-x) + \frac{1}{-x} \geq 2\sqrt{(-x) \cdot \frac{1}{-x}} = 2)。
y = -\left[(-x) + \frac{1}{-x}\right] \leq -2)。
当且仅当(-x = \frac{1}{-x})，即(x = -1)时，等号成立，y = x + \frac{1}{x})的最大值为(-2)。

例 3：用篱笆围一个面积为(100m^2)的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

解：设矩形菜园的长为(x m)，宽为(y m)，则(xy = 100)。
篱笆的长度为(2(x + y))。
根据基本不等式(x + y \geq 2\sqrt{xy})，已知(xy = 100)。
x + y \geq 2\sqrt{100} = 20)。
则(2(x + y) \geq 40)。
当且仅当(x = y)时，等号成立。
由(xy = 100)且(x = y)，可得(x^2 = 100)，解得(x = y = 10)。
所以当矩形的长和宽都为(10m)时，所用篱笆最短，最短篱笆是(40m)。

（四）课堂练习（15 分钟）

已知(x \gt 0)，则(y = 3x + \frac{4}{x})的最小值为（）A. (4\sqrt{3}) B. (4\sqrt{3} + 3) C. (8\sqrt{3}) D. (6)
已知(x \lt 1)，则(y = x + \frac{1}{x - 1})的最大值为（）A. (-1) B. (0) C. (1) D. (2)
要制作一个容积为(4m^3)，高为(1m)的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米(20)元，侧面造价是每平方米(10)元，问当底面边长为多少时，该容器的总造价最低，最低总造价是多少？

（五）课堂小结（5 分钟）

同学们,这节课我们主要学习了基本不等式(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})（(a,b \geq 0)，当且仅当(a = b)时等号成立），我们通过多种方法推导了基本不等式，理解了它的几何意义，在解题过程中，要注意运用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等，一正就是(a)，(b)都要是正数；二定就是(a + b)或(ab)要有一个是定值；三相等就是当且仅当(a = b)时等号成立，希望大家课后能够继续巩固练习，熟练掌握基本不等式的应用😃。

（六）布置作业（5 分钟）

书面作业：教材 P100 练习第 1、2、3 题。
拓展作业：思考如果(a,b)为负数，基本不等式是否成立？如何变形应用？

教学反思

通过本节课的教学,学生对基本不等式的证明、几何意义及应用有了一定的理解和掌握，在教学过程中，通过实例引导学生分析问题、建立模型，培养了学生的数学思维和应用能力，但在教学中也发现，部分学生在运用基本不等式求最值时，容易忽略等号成立的条件，在今后的教学中还需要加强这方面的训练，要进一步鼓励学生积极思考，提高学生自主探究和解决问题的能力。

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