初中平面几何折叠教学设计

教学目标

1. 知识与技能目标

• 学生能理解平面几何折叠问题的本质，掌握折叠前后图形的对应关系，如对应边相等、对应角相等。
• 能够运用全等三角形、勾股定理等知识解决与平面几何折叠相关的计算和证明问题。

2. 过程与方法目标

• 通过观察、操作、分析、推理等活动，培养学生的空间观念、逻辑思维能力和解决问题的能力。
• 经历从实际问题抽象出数学模型的过程,体会转化的数学思想。

3. 情感态度与价值观目标

• 激发学生对数学的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
• 让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦,增强学习数学的自信心。

教学重难点

1. 教学重点

• 掌握平面几何折叠问题的解题方法,明确折叠前后图形的变化关系。
• 能够运用相关知识进行准确的计算和严谨的证明。

2. 教学难点

• 灵活运用多种数学知识解决综合性较强的平面几何折叠问题。
• 引导学生在复杂的图形中准确找出折叠前后的对应关系,建立有效的解题思路。

教学方法

1. 讲授法：讲解平面几何折叠的基本概念、性质和解题思路,使学生系统地掌握知识。
2. 直观演示法：通过折纸、动画等方式直观展示折叠过程，帮助学生理解折叠前后图形的变化,增强空间观念。
3. 小组合作探究法：组织学生小组合作解决问题，培养学生的合作意识和探究能力,促进学生之间的交流与学习。
4. 练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识,提高解题能力。

教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

拿出一张三角形纸片，现场进行折叠演示，将三角形的一角折叠,使它落在三角形内的某一点上。

• 提问：同学们，观察老师的操作，折叠前后图形发生了哪些变化？有哪些量是不变的呢🧐？
• 引导学生思考并回答，从而引出本节课的主题——初中平面几何折叠问题。

（二）知识讲解（15 分钟）

结合刚才的演示,讲解平面几何折叠的概念：

• 折叠是一种图形变换，它将一个图形沿着某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，这条直线叫做对称轴，折叠前后重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段,重合的角叫做对应角。
• 强调折叠前后图形的全等性，即对应边相等、对应角相等，这是解决折叠问题的关键依据👏。

通过 PPT 展示一些简单的折叠图形示例，如矩形纸片的折叠、正方形纸片的折叠等，让学生直观地感受折叠前后图形的对应关系，并请学生指出对应点、对应边和对应角。

（三）例题讲解（20 分钟）

例 1：如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，已知 AB = 3，BC = 4，求 DF 的长。

引导学生分析题目：

• 提问：根据折叠的性质，你能得到哪些相等的线段和角呢🤔？
• 学生回答：BC = BE = 4，CD = DE = AB = 3，∠C = ∠E = 90°，∠CBD = ∠EBD。
• 再提问：在这个图形中,还有哪些角是相等的呢？
• 学生发现：因为 AD∥BC，ADB = ∠CBD，进而得到∠ADB = ∠EBD，BF = DF。

设 DF = x，则 BF = x，AF = 4 - x。

• 在 Rt△ABF 中，根据勾股定理可得：AB² + AF² = BF²。
• 即 3² + (4 - x)² = x²。
• 展开式子：9 + 16 - 8x + x² = x²。
• 移项化简：8x = 25，解得 x = 25/8。
• 总结解题思路：通过折叠性质找到相等关系,再利用勾股定理建立方程求解。

例 2：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F，求证：CF = DF。

• 提问：由折叠可知哪些信息呢🧐？
• 学生回答：AB = BG = BC，∠A = ∠BGE = 90°。
• 引导学生思考：如何证明 CF = DF 呢？可以通过证明三角形全等。
• 提问：观察图形,你能找到全等的三角形吗？
• 学生发现：连接 EF，可证△BFE≌△BCE。

证明过程：

• 因为 AB = BG = BC，BE = BE，∠BGE = ∠BCE = 90°，Rt△BGE≌Rt△BCE（HL）。
• 则 GE = CE。
• 又因为 E 是 AD 中点，AE = DE = GE = CE。
• 在△DEF 和△GEF 中，EF = EF，DE = GE，∠D = ∠EGF = 90°，DEF≌△GEF（HL）。
• DF = GF。
• 因为 BC = BG，CF = DF。
• 通过折叠性质得出边和角的关系,再利用全等三角形证明线段相等。

（四）小组合作探究（15 分钟）

1. 给出探究问题：如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，且 DF∥AC，求△BDF 的周长。
2. 学生分组进行讨论和解答，教师巡视各小组,及时给予指导和帮助。
3. 小组代表上台展示解题过程和思路：

• 设 BD = x，因为 DF∥AC，BFD = ∠C，又因为∠B = ∠C，B = ∠BFD，BF = BD = x。
• 则 CF = 6 - x，由折叠可知 AF = DF，又因为 DF∥AC，所以四边形 ADFE 是平行四边形，AF = DF = AE = 5 - x。
• 在△DFC 中，根据勾股定理可得：DF² = DC² - CF²，即(5 - x)² = 3² - (6 - x)²。
• 展开式子：25 - 10x + x² = 9 - 36 + 12x - x²。
• 移项化简：2x² - 22x + 52 = 0，即 x² - 11x + 26 = 0。
• 解得 x = 2 或 x = 13/2（舍去）。
• BDF 的周长为 BD + BF + DF = 2x + 5 - x = x + 5 = 7。

其他小组进行补充和质疑,共同交流解题方法和技巧。

（五）课堂练习（10 分钟）

1. 如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长是（ ）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，求 EF 的长。

学生独立完成练习，教师巡视批改，对个别有困难的学生进行单独辅导，然后进行集中讲解,针对学生出现的问题进行重点强调。

（六）课堂小结（5 分钟）

引导学生回顾本节课所学内容：

• 提问：通过本节课的学习，你学到了哪些关于平面几何折叠的知识和方法🧐？
• 学生回答：折叠的概念、性质，以及如何利用这些性质通过勾股定理、全等三角形等知识解决折叠问题。

总结解题要点：

• 关键是找出折叠前后图形的对应关系，利用对应边相等、对应角相等建立等式。
• 对于计算问题，常通过设未知数，利用勾股定理或全等三角形的性质列方程求解；对于证明问题，要善于寻找全等三角形,依据全等三角形的判定定理进行证明。

（七）布置作业（5 分钟）

1. 基础作业：课本相关练习题,巩固本节课所学的基础知识。
2. 拓展作业：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 F 处，DF∥BC，求折痕 DE 的长。

通过分层作业，满足不同层次学生的学习需求，让学生在巩固知识的同时,进一步拓展思维。

教学反思

通过本节课的教学，学生对平面几何折叠问题有了较为系统的认识和理解，在教学过程中，通过多种教学方法的综合运用，如直观演示、例题讲解、小组合作探究等，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的思维能力和合作精神，但在教学中也发现部分学生在解决复杂折叠问题时，还存在找不准对应关系、解题思路不清晰等问题，在今后的教学中还需加强针对性的训练和指导，帮助学生更好地掌握这部分知识。

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