初中数学一元二次方程教学设计

jiayaozb.com2025年05月06日 12:28370

教学目标

知识与技能目标

学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能准确识别二次项系数、一次项系数和常数项。
会根据实际问题列一元二次方程。

过程与方法目标

通过类比一元一次方程，经历探索一元二次方程概念的过程，培养学生观察、类比、分析、归纳的能力。
在实际问题情境中，体会建立方程模型解决问题的一般过程,提高学生数学应用能力和建模思想。

情感态度与价值观目标

通过探究实际问题与一元二次方程的关系，激发学生学习数学的兴趣,体会数学与生活的紧密联系。
培养学生积极参与数学活动的意识，在交流合作中，让学生感受成功的喜悦,增强学习自信心。

教学重难点

教学重点

一元二次方程的概念和一般形式。
能根据实际问题列一元二次方程。

教学难点

对一元二次方程概念中“元”和“次”的理解，以及二次项系数不为 0 的条件。
如何引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程模型。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合，通过多媒体辅助教学，直观展示教学内容，引导学生自主探究、合作交流,积极参与课堂教学活动。

教学过程

（一）创设情境，导入新课

多媒体展示图片：

学校为了美化校园环境，准备在一块长为 10 米，宽为 8 米的矩形空地上新建一个面积为 18 平方米的矩形花圃，要求花圃四周小路的宽度相等,求小路的宽度。
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元？

提出问题：

你能根据上述问题设未知数并列出方程吗？
观察你列出的方程，与我们之前学过的一元一次方程有什么不同？让学生思考并尝试列出方程，教师巡视指导,然后请几位同学回答他们列出的方程。

（二）探究新知

一元二次方程的概念

引导学生观察所列出的方程，如：(x^{2}+18x - 7 = 0)，(x^{2}-30x + 200 = 0)等,与一元一次方程进行对比。
提问：这些方程有什么共同特点？
学生分组讨论，然后派代表发言,教师总结归纳：
这些方程都只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是 2（次）,像这样的整式方程叫做一元二次方程。
强调一元二次方程的三个要素：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③整式方程。

一元二次方程的一般形式

给出几个一元二次方程，如(3x^{2}+5x - 2 = 0)，(x^{2}-4x = 0)，(2x^{2}=1)等,引导学生观察它们的形式。
提问：如何将这些方程化为统一的形式呢？
学生思考后，教师讲解一元二次方程的一般形式是(ax^{2}+bx + c = 0)（(a\neq0)），ax^{2})是二次项，(a)是二次项系数；(bx)是一次项，(b)是一次项系数；(c)是常数项。
让学生指出刚才所列出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
强调：二次项系数(a\neq0)，因为当(a = 0)时,方程就不是二次方程了。

（三）例题讲解

例 1：判断下列方程是否为一元二次方程：

(2x^{2}-3x + 1 = 0)
(x^{2}-2y - 1 = 0)
(x^{2}+\frac{1}{x}-2 = 0)
(3x^{2}-2x = 3(x + 1)(x - 2))
((x - 1)^{2}=x^{2}-1)解：
(2x^{2}-3x + 1 = 0)是一元二次方程，因为它只含有一个未知数(x)，且(x)的最高次数是 2,是整式方程。
(x^{2}-2y - 1 = 0)不是一元二次方程，因为它含有两个未知数(x)和(y)。
(x^{2}+\frac{1}{x}-2 = 0)不是一元二次方程，因为它不是整式方程，分母中含有未知数(x)。
(3x^{2}-2x = 3(x + 1)(x - 2))，化简得(3x^{2}-2x = 3(x^{2}-x - 2))，即(3x^{2}-2x = 3x^{2}-3x - 6)，进一步化简得(x = -6)，它不是一元二次方程，化简后未知数最高次数是 1。
((x - 1)^{2}=x^{2}-1)，展开得(x^{2}-2x + 1 = x^{2}-1)，化简得(-2x + 2 = 0)，它不是一元二次方程，化简后未知数最高次数是 1。

例 2：将方程((2x - 1)(3x + 1)=x^{2}+2)化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。解：

先将方程左边展开：((2x - 1)(3x + 1)=6x^{2}+2x - 3x - 1 = 6x^{2}-x - 1)。
则原方程化为(6x^{2}-x - 1 = x^{2}+2)。
移项得(6x^{2}-x^{2}-x - 1 - 2 = 0)。
合并同类项得(5x^{2}-x - 3 = 0)。
所以二次项系数是(5)，一次项系数是(-1)，常数项是(-3)。

（四）课堂练习

下列方程中,哪些是一元二次方程？

(x^{2}-5x + 6 = 0)
(x^{2}+2y - 3 = 0)
(x^{2}+\frac{1}{x}=0)
(x^{2}-4x = 5)
((x + 1)^{2}=x^{2}+3)

将方程((x + 3)(x - 2)=x^{2}-1)化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

（五）拓展延伸

已知关于(x)的方程((m - 1)x^{m^{2}+1}+(m - 2)x - 1 = 0)。

当(m)为何值时,此方程是一元二次方程？
当(m)为何值时,此方程是一元一次方程？

某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视机的总台数是 3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

（六）课堂小结

引导学生回顾本节课所学内容：

一元二次方程的概念。
一元二次方程的一般形式(ax^{2}+bx + c = 0)（(a\neq0)），以及如何确定二次项系数、一次项系数和常数项。
如何判断一个方程是否为一元二次方程,以及将方程化为一般形式的方法。

让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会,以及存在的疑问。

（七）布置作业

书面作业：教材课后练习题第 1、2、3 题。
拓展作业：思考生活中还有哪些实际问题可以用一元二次方程来解决,并尝试列出方程。

教学反思

通过本节课的教学，学生对一元二次方程的概念和一般形式有了初步的理解和掌握，在教学过程中，通过创设实际问题情境导入新课，激发了学生的学习兴趣和求知欲，让学生感受到数学与生活的紧密联系，在探究一元二次方程概念的过程中，引导学生通过类比、观察、分析、归纳等方法，自主得出结论,培养了学生的探究能力和逻辑思维能力。

在例题讲解和课堂练习环节，注重让学生参与解题过程，及时发现学生存在的问题并进行纠正和指导，通过拓展延伸部分的练习，进一步加深了学生对一元二次方程的理解和应用,提高了学生解决问题的能力。

在教学过程中也发现了一些不足之处，部分学生在判断方程是否为一元二次方程时，对“元”和“次”的理解还不够准确，需要在今后的教学中加强针对性训练，在引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程模型时，部分学生还存在一定困难，需要进一步培养学生的数学应用意识和建模能力，在今后的教学中，将不断改进教学方法，加强对学生的个别指导,提高教学效果。

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仅供参考，你可以根据实际教学需求进行调整和完善，如果你还需要我针对特定知识点或教学环节进行优化,请随时向我提问。

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