分类计数原理教学设计

教学目标

1. 知识与技能目标

• 理解分类计数原理的概念,能准确判断何时运用分类计数原理解决问题。
• 熟练掌握运用分类计数原理解决简单的计数问题,通过实际例子培养学生的逻辑思维和数学运算能力。

2. 过程与方法目标

• 通过对实际问题的分析,引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程，归纳总结出分类计数原理。
• 让学生在运用分类计数原理解决问题的过程中,体会“分类”的思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标

• 通过生活实例引入,激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
• 在合作交流中,让学生感受数学的严谨性，培养学生的团队合作意识和数学素养。

教学重难点

1. 教学重点

• 理解分类计数原理的本质特征,明确其适用条件。
• 能够正确运用分类计数原理解决各类计数问题,掌握分类的方法和技巧。

2. 教学难点

• 如何引导学生正确地对问题进行分类,确保分类的不重不漏。
• 当问题较为复杂时,如何合理地确定分类标准，准确运用分类计数原理求解。

教学方法

1. 讲授法：系统讲解分类计数原理的概念、原理及应用方法，使学生对新知识有初步的认识。
2. 案例教学法：通过实际生活中的典型案例，引导学生分析问题、解决问题，让学生在具体情境中理解和运用分类计数原理。
3. 小组合作学习法：组织学生小组讨论，共同探究问题的解决方案，培养学生的合作交流能力和思维能力。
4. 启发式教学法：在教学过程中，通过提问、引导、启发等方式，激发学生的学习兴趣和主动性，帮助学生理解和掌握知识。

教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

展示生活中的实例：

• 从甲地到乙地,可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
• 用一个大写的英文字母或一个+++数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码？

引导学生思考并回答问题,引出本节课的主题——分类计数原理。

（二）新课讲授（25 分钟）

分类计数原理的概念讲解

• 针对上述实例,分析如下：
• 对于从甲地到乙地的问题,坐火车有 3 种走法，坐汽车有 2 种走法，无论选择哪种交通工具都能从甲地到达乙地，所以从甲地到乙地共有 3 + 2 = 5 种不同的走法。
• 对于座位编号问题,用英文字母有 26 种编法，用+++数字有 10 种编法，所以总共能编出 26 + 10 = 36 种不同的号码。
• 总结分类计数原理：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m₁ 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m₂ 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N = m₁ + m₂ + … + mₙ 种不同的方法。
• 强调：
• 各类办法之间相互独立,都能独立完成这件事。
• 每类办法中的每种方法都能独立完成这件事。

深入理解分类计数原理

• 举例说明：
• 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书，从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？
• 分析：从书架上任取 1 本书，有 3 类办法：
• 第 1 类办法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；
• 第 2 类办法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；
• 第 3 类办法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法。
• 根据分类计数原理,不同的取法共有 4 + 3 + 2 = 9 种。
• 引导学生思考：如果要从书架上取一本计算机书和一本文艺书，有多少种不同的取法呢？这个问题能用分类计数原理解决吗？为什么？
• 通过这个问题,让学生进一步明确分类计数原理的适用条件，即完成一件事只需要从各类办法中任选其一即可。

（三）例题讲解（20 分钟）

例 1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 A、B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学：生物学、化学、医学、物理学、工程学；B 大学：数学、会计学、信息技术学、法学。如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

• 分析：这名同学可以选择 A 大学的专业，有 5 种选择方法；也可以选择 B 大学的专业，有 4 种选择方法。
• 解：根据分类计数原理，这名同学共有 5 + 4 = 9 种不同的选择。

例 2：一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取 1 个小球，有多少种不同的取法？

• 分析：从两个口袋中任取 1 个小球，可以分两类情况：
• 第 1 类，从第一个口袋中取 1 个小球，有 5 种取法；
• 第 2 类，从第二个口袋中取 1 个小球，有 4 种取法。
• 解：由分类计数原理，共有 5 + 4 = 9 种不同的取法。

例 3：有不同的中文书 9 本，不同的英文书 7 本，不同的日文书 5 本，从其中取出不是同一国文字的书 2 本，问有多少种不同的取法？

• 分析：可以分三类情况：
• 第 1 类，取中文书和英文书各 1 本，有 9×7 = 63 种取法；
• 第 2 类，取中文书和日文书各 1 本，有 9×5 = 45 种取法；
• 第 3 类，取英文书和日文书各 1 本，有 7×5 = 35 种取法。
• 解：根据分类计数原理，共有 63 + 45 + 35 = 143 种不同的取法。
• 在讲解例题过程中,引导学生分析问题，确定分类标准，逐步培养学生运用分类计数原理解决问题的能力，强调解题步骤的规范性和严谨性，提醒学生注意分类要不重不漏。

（四）课堂练习（15 分钟）

1. 从甲地到乙地有 3 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地不经过乙地到丙地有 4 条路可走，则从甲地到丙地的不同走法共有（ ）A. 9 种 B. 10 种 C. 14 种 D. 24 种
2. 某班有男生 30 人，女生 20 人，从中任选一人担任数学课代表，则不同的选法有（ ）A. 50 种 B. 30 种 C. 20 种 D. 600 种
3. 已知++ M = {1, 2, 3}，N = {4, 5, 6, 7}，从两个++中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）A. 18 个 B. 17 个 C. 16 个 D. 10 个
4. 从 1, 2, 3, 4, 5 这五个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位数，则可以组成多少个不同的两位数？
5. 有三个袋子,分别装有不同编号的红色小球 6 个，白色小球 5 个，黄色小球 4 个，若从三个袋子中任取 1 个小球，有多少种不同的取法？

• 学生独立完成练习,教师巡视指导，及时纠正学生出现的问题，练习结束后，选取部分学生进行展示和讲解，共同探讨解题思路和方法，巩固所学知识。

（五）课堂小结（5 分钟）

1. 引导学生回顾本节课所学内容,包括分类计数原理的概念、适用条件及应用方法。
2. 请学生分享在本节课中的收获和体会,以及遇到的问题和困惑。
3. 教师对学生的表现进行总结评价,强调分类计数原理在计数问题中的重要性，鼓励学生在今后的学习中继续加强对数学思想方法的理解和运用。

（六）布置作业（5 分钟）

1. 书面作业：教材课后习题相应部分，通过书面作业进一步巩固所学知识，提高学生运用分类计数原理解决问题的能力。
2. 拓展作业：

• 从 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字中任取两个不同的数字组成两位数，其中偶数有多少个？
• 某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
• 拓展作业旨在加深学生对分类计数原理的理解和应用,培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。

教学反思

通过本节课的教学,学生对分类计数原理有了初步的理解和掌握，在教学过程中，采用多种教学方法相结合，引导学生积极思考、主动参与，较好地完成了教学目标，但在教学过程中也发现了一些问题，例如部分学生在对问题进行分类时容易出现重漏现象，这需要在今后的教学中加强针对性训练，提高学生准确分类的能力，应鼓励学生多观察生活中的计数问题，进一步体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和积极性。 🌟

就是一份关于分类计数原理的教学设计,你可以根据实际教学情况进行调整和完善，希望对你有所帮助！🤗

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