职高数学函数应用教案

教学目标

1. 知识与技能目标
   • 让学生理解函数在实际生活中的广泛应用,掌握运用函数知识解决实际问题的一般方法。
   • 能够根据实际情境建立函数模型,并通过分析函数的性质来解决相关问题。
2. 过程与方法目标
• 通过实际案例的分析和解决,培养学生观察、分析、归纳和建模的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的思维能力。
• 经历从实际问题抽象出函数模型,再运用函数模型解决问题的过程，体会数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值。
3. 情感态度与价值观目标
• 激发学生学习数学的兴趣,培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。
• 通过团队合作解决问题,培养学生的合作意识和交流能力，让学生体会数学在实际生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。

教学重难点

1. 教学重点
   • 学会分析实际问题中的数量关系,建立合理的函数模型。
   • 掌握运用函数的性质（如单调性、最值等）解决实际问题。
2. 教学难点
• 如何引导学生将实际问题转化为数学问题,建立准确的函数模型。
• 对实际问题中函数定义域的确定以及如何根据实际情况对函数模型进行合理的解释和应用。

教学方法

1. 讲授法：讲解函数应用的基本概念、方法和步骤，让学生系统地掌握知识。
2. 案例分析法：通过实际案例的分析，引导学生学会如何从实际问题中提取数学信息，建立函数模型并求解。
3. 小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作，共同解决实际问题，培养学生的团队合作能力和交流能力。
4. 多媒体辅助教学法：利用多媒体展示实际案例和函数图像，直观地帮助学生理解教学内容，提高教学效果。

教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

1. 展示一些生活中与函数有关的图片或视频,如气温随时间的变化、股票价格的波动、行程问题中的路程与时间关系等，引导学生观察并思考这些现象中是否存在函数关系。
2. 提问学生生活中还有哪些地方会用到函数,激发学生的学习兴趣，引入本节课的主题——职高数学函数应用。

（二）知识讲解（15 分钟）

1. 函数应用的概念
   • 讲解函数应用是指将函数知识应用于实际问题的解决过程,通过建立函数模型来描述实际问题中的数量关系，进而求解实际问题。
   • 强调函数模型的重要性,它是连接数学与实际生活的桥梁。
2. 函数应用的一般步骤
• 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
• 建模：分析实际问题中的数量关系，找出变量之间的联系，建立函数模型，通常用函数表达式表示。
• 求解：运用函数的性质和相关数学知识求解函数模型，得出答案。
• 检验：将求解结果代入实际问题中进行检验，看是否符合实际意义，若不符合，则需重新审视问题，修正模型。
• 作答：写出完整的答案，回答实际问题。

（三）案例分析（30 分钟）

1. 销售利润问题
   • 某商店以每件 60 元的价格购进一批商品，若按每件 80 元出售，每天可销售 40 件，经市场调查发现，每件商品每降价 1 元，每天可多销售 2 件，设每件商品降价 x 元，每天的销售利润为 y 元。
   • 引导学生分析：
     • 利润 = 每件利润×销售量。
     • 每件利润 = 售价 - 进价。
     • 销售量 = 原来销售量 + 因降价增加的销售量。
   • 让学生尝试建立函数模型：
   • 售价为((80 - x))元，每件利润为((80 - x - 60))元，销售量为((40 + 2x))件。
   • 则(y=(80 - x - 60)(40 + 2x))，化简得(y = -2x^2 + 40x + 800)。
   • 求解函数：
   • 对于二次函数(y = -2x^2 + 40x + 800)，求其最大值。
   • 根据二次函数顶点公式(x = -\frac{b}{2a})，可得(x = -\frac{40}{2\times(-2)} = 10)。
   • 将(x = 10)代入函数，可得(y_{max} = -2\times10^2 + 40\times10 + 800 = 1000)。
   • 检验与作答：
   • 当(x = 10)时，售价为(80 - 10 = 70)元，销售量为(40 + 2\times10 = 60)件，利润为(1000)元，符合实际意义。
   • 答：每件商品降价 10 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 1000 元。
   • 行程问题
   • 一辆汽车从 A 地出发，以每小时 60 千米的速度匀速行驶，经过 2 小时后到达 B 地，休息 1 小时后，汽车以每小时 80 千米的速度返回 A 地，设汽车从 A 地出发后经过 t 小时与 A 地的距离为 s 千米。
   • 引导学生分段分析：
     • 当(0\leq t\leq2)时，汽车从 A 地向 B 地行驶，(s = 60t)。
     • 当(2\lt t\leq3)时，汽车在 B 地休息，(s = 60\times2 = 120)。
     • 当(3\lt t\leq3 + \frac{120}{80})，即(3\lt t\leq4.5)时，汽车从 B 地返回 A 地，(s = 120 - 80(t - 3))，化简得(s = -80t + 360)。
   • 画出函数图像,让学生直观地感受函数的变化情况。
   • 提问学生：汽车何时离 A 地最远？最远距离是多少？
   • 学生通过分析函数图像或函数表达式得出：当(t = 3)时，汽车离 A 地最远，最远为 120 千米。

   （四）小组合作学习（20 分钟）

   1. 将学生分成若干小组,每组 4 - 5 人。
   2. 给出一个实际问题：

      某工厂生产一种产品,固定成本为 20000 元，每生产一件产品，成本增加 100 元，已知该产品的市场售价为每件 300 元，设生产 x 件产品时，利润为 y 元。

   3. 要求各小组：
      • 分析题目中的数量关系,建立函数模型。
      • 求解函数的最值,并讨论如何获得最大利润。
      • 每个小组推选一名代表进行发言,展示小组的讨论结果。
   4. 教师巡视各小组,及时给予指导和帮助，鼓励学生积极讨论，共同解决问题。

   （五）课堂小结（5 分钟）

   1. 引导学生回顾本节课所学内容,包括函数应用的概念、一般步骤以及通过案例分析掌握的建立函数模型和求解实际问题的方法。
   2. 让学生分享本节课的收获和体会,教师进行总结和补充，强调函数应用在实际生活中的重要性以及数学思维的培养。

   （六）布置作业（5 分钟）

   1. 书面作业：教材课后相关练习题，要求学生认真完成，巩固所学知识。
   2. 拓展作业：让学生收集生活中一个与函数应用有关的实际问题，尝试建立函数模型并求解，下节课进行交流分享。

   教学反思

   通过本节课的教学,学生对函数应用有了更深入的理解和认识，能够在实际问题中建立函数模型并求解，在教学过程中，采用案例分析和小组合作学习的方法，激发了学生的学习兴趣和积极性，培养了学生的团队合作能力和数学应用意识，但在教学中也发现部分学生在将实际问题转化为数学问题时仍存在困难，需要在今后的教学中加强针对性训练，提高学生的建模能力，要进一步引导学生关注函数定义域在实际问题中的确定，确保答案的合理性和准确性。

   希望这份教案能对你有所帮助！如果你还有其他问题或需要进一步修改，请随时告诉我。😊

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