基于BOPPPS教学模式的函数的单调性教学设计

教学目标

1. 知识与技能目标
   • 理解函数单调性的概念,能根据函数图象判断函数的单调性。
   • 会用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
2. 过程与方法目标
• 通过对函数单调性定义的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。
• 在证明函数单调性的过程中，让学生体会逻辑推理的严密性,提高学生的推理论证能力。
3. 情感态度与价值观目标
• 通过主动探究、合作交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨。
• 培养学生勇于探索的精神和实事求是的科学态度,增强学习数学的兴趣。

教学重难点

1. 教学重点
   • 函数单调性的概念和判断函数单调性的方法。
   • 用定义证明函数的单调性。
2. 教学难点
• 对函数单调性概念的理解，特别是“任意”的理解。
• 用定义证明函数单调性时,如何对差式进行合理变形。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合,利用多媒体辅助教学。

教学过程

（一）导入（Bridge-in，约3分钟）

同学们，在我们的日常生活中，经常会遇到一些变化的量，比如气温随时间的变化、股票价格随时间的变化等，如何来描述这些量的变化趋势呢🧐？今天我们就来学习一种新的数学概念——函数的单调性,它可以帮助我们很好地研究函数值的变化情况。

让我们来看这样一个例子：观察下面这张气温变化图（展示某地区一天的气温变化曲线），你能从图中看出气温在哪些时间段是升高的，哪些时间段是降低的吗🤔？

（二）目标（Objective，约2分钟）

通过本节课的学习,我们要达成以下目标：

1. 理解函数单调性的概念,能够准确判断函数在某个区间上的单调性。
2. 掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。
3. 体会数学的严谨性和逻辑性,提高分析问题和解决问题的能力。

（三）前测（Pre-asses++ent，约5分钟）

1. 提问：什么是函数？
2. 给出几个简单函数,让学生说出函数值随自变量的变化情况。

（四）参与式学习（Participatory Learning，约20分钟）

1. 函数单调性的概念探究
   • 给出几个具体函数，如(y = 2x + 1)，(y = -x^2)，让学生观察函数图象,描述函数值随自变量的变化趋势。
   • 引导学生分组讨论，总结出函数单调性的直观定义：函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质。
   • 进一步引导学生思考：如何用数学语言准确地描述“增大”和“减小”呢🧐？从而引出函数单调性的严格定义。
2. 函数单调性的定义
• 设函数(f(x))的定义域为(I)，如果对于定义域(I)内的某个区间(D)上的任意两个自变量的值(x_1)，(x_2)，当(x_1 < x_2)时，都有(f(x_1) < f(x_2))（或(f(x_1) > f(x_2))），那么就说函数(f(x))在区间(D)上是增函数（或减函数）。
• 强调定义中的关键词“任意”,让学生举例说明为什么不能用特殊值来判断函数的单调性。
• 结合函数图象，进一步理解函数单调性的定义，比如在(y = 2x + 1)的图象上，任取两点((x_1,y_1))，((x_2,y_2))，当(x_1 < x_2)时，比较(y_1)与(y_2)的大小，验证函数的单调性😃。

（五）后测（Post-asses++ent，约15分钟）

1. 例题讲解
   • 例1：根据函数图象，指出函数(f(x)=x^2 - 4x + 3)的单调区间。
     • 首先画出函数(f(x)=x^2 - 4x + 3)的图象（通过配方(f(x)=(x - 2)^2 - 1)）。
     • 然后根据图象，直观地得出函数的单调区间：在区间((-\infty,2])上是减函数，在区间([2,+\infty))上是增函数。
     • 引导学生思考：能否用定义证明函数在这些区间上的单调性呢🧐？
   • 例2：证明函数(f(x)=2x + 1)在(R)上是增函数。
   • 第一步：设(x_1)，(x_2)是(R)上的任意两个实数，且(x_1 < x_2)。
   • 第二步：计算(f(x_1)-f(x_2))，即((2x_1 + 1)-(2x_2 + 1)=2(x_1 - x_2))。
   • 第三步：因为(x_1 < x_2)，x_1 - x_2 < 0)，从而(2(x_1 - x_2) < 0)，即(f(x_1)-f(x_2) < 0)，也就是(f(x_1) < f(x_2))。
   • 第四步：根据函数单调性的定义，得出函数(f(x)=2x + 1)在(R)上是增函数。
   • 总结用定义证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、定号、
   • 课堂练习
   • 练习1：判断函数(f(x)=\frac{1}{x})在区间((0,+\infty))上的单调性,并证明。
   • 练习2：已知函数(f(x)=x^2 + ax + 3)，若函数在区间([-1,1])上单调递增，求实数(a)的取值范围。
   • 学生分组完成练习，教师巡视指导,及时纠正学生在证明过程中出现的问题。

   （六）Summary，约5分钟）

   1. 引导学生回顾本节课所学内容，包括函数单调性的概念、判断函数单调性的方法（图象法和定义法）以及用定义证明函数单调性的步骤。
   2. 强调本节课的重点和难点,让学生再次明确需要掌握的知识和技能。
   3. 鼓励学生在课后继续思考函数单调性在实际生活中的应用，加深对这一概念的理解😃。

   （七）作业布置（约1分钟）

   1. 书面作业：教材课后习题中相关题目。
   2. 拓展作业：思考函数单调性与函数最值之间的关系。

   教学反思

   通过本节课的教学，采用BOPPPS教学模式，学生积极参与课堂讨论和探究活动，对函数单调性的概念和证明方法有了较好的理解和掌握，在教学过程中，要更加关注学生的个体差异，对于理解困难的学生要给予更多的指导和帮助，要进一步优化教学环节，提高课堂教学效率，让学生在有限的时间内更好地掌握知识和技能，在今后的教学中，还可以引入更多的实际案例，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和积极性🤗。

   标签： #设计一个boppps教学模式教学设计