等差数列教学设计完整版

教学目标

1. 知识与技能目标
   • 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式。
   • 能根据等差数列的通项公式进行简单的计算和推理。
2. 过程与方法目标
• 通过对等差数列概念的探究,培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。
• 体会从特殊到一般的数学思想方法,提高学生的数学思维能力。
3. 情感态度与价值观目标
• 通过对等差数列的研究,激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。
• 让学生在合作交流中,体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

教学重难点

1. 教学重点
   • 等差数列的概念和通项公式。
   • 等差数列通项公式的推导和应用。
2. 教学难点
• 对等差数列概念中“等差”的理解。
• 灵活运用等差数列通项公式解决相关问题。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

教学过程

（一）导入新课

1. 展示一些生活中的数列实例,如：
   • 姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
   • 某剧场前10排的座位数分别是：38，40，42，44，46，48，50，52，54，56
   • 全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是cm）分别是：21，21.5，22，22.5，23，23.5，24，24.5，25
2. 引导学生观察这些数列有什么共同特点？
3. 学生分组讨论,然后每组派代表发言。

（二）讲授新课

1. 等差数列的概念
   • 教师引导学生共同总结出这些数列的共同特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
   • 给出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母(d)表示。
   • 强调定义中的几个要点：
     • “从第二项起”：保证数列有足够的项来进行差的计算。
     • “每一项与它的前一项的差”：明确是相邻两项的差。
     • “同一个常数”：这是等差数列的关键特征。
   • 让学生判断以下数列是否为等差数列：
   • (1)，(3)，(5)，(7)，(9)
   • (2)，(4)，(7)，(11)，(16)
   • ( - 3)，(-2)，(-1)，(0)，(1)，(2)
   • (1)，(1)，(1)，(1)，(1)
   • 学生回答后,教师进行点评和总结，进一步强化学生对等差数列概念的理解。
   • 等差数列的通项公式
   • 设等差数列({ a{n}})的首项为(a{1})，公差为(d)，引导学生推导通项公式。
   • 由等差数列的定义可得：(a{2}-a{1}=d)，则(a{2}=a{1}+d)；(a{3}-a{2}=d)，则(a{3}=a{2}+d=(a{1}+d)+d=a{1}+2d)；(a{4}-a{3}=d)，则(a{4}=a{3}+d=(a{1}+2d)+d=a{1}+3d)；(\cdots)
   • 以此类推,通过不完全归纳法可得(a{n}=a{1}+(n - 1)d)。
   • 教师详细讲解通项公式的推导过程,强调每一步的依据和意义。
   • 给出通项公式的变形：(a{n}=a{m}+(n - m)d)（(m,n\in N^*)）
   • 让学生思考：已知等差数列的首项(a{1})和公差(d)，如何求数列的第(n)项(a{n})？已知(a{m})和(d)，如何求(a{n})？
   • 通过具体的例子进行练习,如：
     • 已知等差数列({ a{n}})中，(a{1}=2)，(d = 3)，求(a_{10})。
     • 已知等差数列({ a{n}})中，(a{5}=10)，(d = 2)，求(a_{1})。
   • 学生练习后,教师进行讲解和点评，巩固学生对通项公式的应用。

   （三）例题讲解

   例1：已知等差数列({ a{n}})中，(a{5}=10)，(a{12}=31)，求首项(a{1})和公差(d)。解：由等差数列的通项公式(a{n}=a{1}+(n - 1)d)可得：(\begin{cases}a{5}=a{1}+4d = 10\a{12}=a{1}+11d = 31\end{cases})将第一个方程(a{1}+4d = 10)变形为(a{1}=10 - 4d)，代入第二个方程(a{1}+11d = 31)中，得到：(10 - 4d + 11d = 31)(7d = 21)(d = 3)将(d = 3)代入(a{1}=10 - 4d)，可得(a{1}=10 - 4\times3 = - 2)。首项(a{1}=-2)，公差(d = 3)。

   例2：等差数列({ a{n}})中，已知(a{3}=9)，(a{9}=3)，求(a{12})。解：先根据通项公式求出公差(d)，由(a{n}=a{1}+(n - 1)d)可得：(\begin{cases}a{3}=a{1}+2d = 9\a{9}=a{1}+8d = 3\end{cases})用第二个方程减去第一个方程消去(a{1})，得到：((a{1}+8d)-(a{1}+2d)=3 - 9)(6d=-6)(d=-1)将(d=-1)代入(a{1}+2d = 9)，可得(a{1}=9 - 2\times(-1)=11)。再求(a{12})，(a{12}=a{1}+11d = 11 + 11\times(-1)=0)。

   通过这两个例题,引导学生学会运用等差数列的通项公式解决已知某些项求其他项的问题，培养学生的解题能力和逻辑思维能力。

   （四）课堂练习

   1. 在等差数列({ a{n}})中，(a{1}=3)，(d = 2)，则(a_{5}=)（ ）A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
   2. 已知等差数列({ a{n}})中，(a{n}=2n - 1)，则公差(d=)（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
   3. 等差数列({ a{n}})中，(a{3}=5)，(a{7}=13)，则(a{11}=)（ ）A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
   4. 已知等差数列({ a{n}})中，(a{1}=1)，(a_{n}=19)，(d = 2)，则(n=)（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

   学生完成练习后,教师进行巡视指导，及时纠正学生的错误，然后统一讲解答案，对学生的掌握情况进行总结和评价。

   （五）课堂小结

   1. 引导学生回顾本节课所学内容：
      • 等差数列的概念：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
      • 等差数列的通项公式：(a{n}=a{1}+(n - 1)d)及其变形(a{n}=a{m}+(n - m)d)。
      • 通项公式的应用：已知(a{1})，(d)，(n)求(a{n})；已知(a{m})，(d)，(n)求(a{n})；已知(a{n})，(a{m})，(d)求(n)等。
   2. 让学生分享本节课的学习收获和体会,教师进行补充和完善。

   （六）布置作业

   1. 必做题：
      • 课本第39页练习第1、2、3题。
      • 已知等差数列({ a{n}})中，(a{1}=5)，(d = 3)，求(a{10})和(a{n})。
   2. 选做题：
   • 已知等差数列({ a{n}})中，(a{3}+a{5}=10)，(a{7}=13)，求数列的通项公式(a_{n})。
   • 若数列({ a{n}})满足(a{1}=1)，(a{n + 1}-a{n}=2)，判断该数列是否为等差数列，并求其通项公式。

   通过作业分层布置,满足不同层次学生的学习需求，巩固所学知识，培养学生的自主学习能力和创新思维能力。

   教学反思

   通过本节课的教学,学生对等差数列的概念和通项公式有了较好的理解和掌握，在教学过程中，通过生活实例引入新课，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系，在探究等差数列通项公式的过程中，引导学生自主思考、合作交流，培养了学生的探究能力和逻辑思维能力，通过例题讲解和课堂练习，及时巩固了所学知识，提高了学生运用知识解决问题的能力，但在教学中也发现了一些问题，部分学生在运用通项公式进行计算和推理时，还存在一些困难，需要在今后的教学中加强针对性的训练，在课堂教学中，应更加注重对学生思维过程的引导，鼓励学生提出问题，培养学生的问题意识和创新精神。

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