清障式教学设计案例，以高中数学函数单调性为例

教学目标

1. 知识与技能目标
   • 学生能理解函数单调性的概念,会判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
   • 掌握用定义证明函数单调性的一般步骤。
2. 过程与方法目标通过对函数单调性定义的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3. 情感态度与价值观目标让学生在探究活动中感受数学的严谨性，增强学习数学的兴趣和自信心。

教学重难点

1. 教学重点函数单调性的概念和证明函数单调性的方法。
2. 教学难点对函数单调性概念的理解，以及如何引导学生用准确的数学语言表述证明过程。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

教学过程

（一）情境引入（3分钟）

展示气温变化图和股票价格走势图📈，引导学生观察并思考随着时间的变化，气温和股票价格是如何变化的？让学生感受函数值随自变量变化而变化的情况，从而引出本节课的主题——函数的单调性。

（二）探究函数单调性的概念（12分钟）

1. 给出几个具体函数,如(y = 2x + 1)，(y = -x^2)，让学生画出它们的图象，并观察当自变量(x)增大时，函数值(y)的变化情况。
2. 引导学生分组讨论,尝试用自己的语言描述函数单调性的特征。
3. 教师在学生讨论的基础上,总结归纳出函数单调性的定义：
   • 一般地,设函数(f(x))的定义域为(I)，区间(D\subseteq I)：
     • 如果对于任意的(x_1,x_2\in D)，当(x_1<x_2)时，都有(f(x_1)<f(x_2))，那么就称函数(f(x))在区间(D)上单调递增。
     • 如果对于任意的(x_1,x_2\in D)，当(x_1<x_2)时，都有(f(x_1)>f(x_2))，那么就称函数(f(x))在区间(D)上单调递减。

     （三）典型例题讲解（15分钟）

     例1：如图是定义在区间([-5,5])上的函数(y = f(x))的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

     通过这个例题,让学生进一步熟悉函数单调性的概念，学会从函数图象直观地判断函数的单调性。

     例2：证明函数(f(x)=3x + 2)在(R)上是增函数。

     1. 教师引导学生分析证明思路：

        要证明函数(f(x))在(R)上是增函数，根据定义，需要设(x_1,x_2\in R)，且(x_1<x_2)，然后证明(f(x_1)<f(x_2))。

     2. 教师板书证明过程：
        • 设(x_1,x_2\in R)，且(x_1<x_2)，则：
          • (f(x_1)-f(x_2)=(3x_1 + 2)-(3x_2 + 2)=3(x_1 - x_2))
          • 因为(x_1<x_2)，x_1 - x_2<0)，从而(3(x_1 - x_2)<0)，即(f(x_1)-f(x_2)<0)，f(x_1)<f(x_2))。
        • 所以函数(f(x)=3x + 2)在(R)上是增函数。

        通过这个例题,让学生掌握用定义证明函数单调性的一般步骤：

        1. 取值：设(x_1,x_2)是给定区间上的任意两个自变量，且(x_1<x_2)。
        2. 作差：计算(f(x_1)-f(x_2))。
        3. 变形：对(f(x_1)-f(x_2))进行化简变形，使其能够判断符号。
        4. 定号：根据已知条件判断(f(x_1)-f(x_2))的符号。
        5. 下结论：根据定义得出函数的单调性。

        （四）课堂练习（10分钟）

        1. 判断函数(f(x)=x^2 - 2x)在区间((-\infty,1])上的单调性，并证明。
        2. 已知函数(f(x))在区间([a,b])上单调递增，且(f(a)<f(b))，若(x_1,x_2\in[a,b])，且(x_1<x_2)，则(f(x_1))与(f(x_2))的大小关系是__。

        学生完成练习后,教师进行巡视指导，及时纠正学生在证明过程中出现的错误，然后请几位学生上台展示自己的解答过程，教师进行点评。

        （五）课堂小结（5分钟）

        1. 引导学生回顾本节课所学内容,包括函数单调性的概念、判断函数单调性的方法（图象法和定义法）以及用定义证明函数单调性的步骤。
        2. 让学生分享自己在本节课中的收获和体会,以及遇到的困难和解决方法。

        （六）布置作业（课后完成）

        1. 教材课后练习题第1、2、3题。
        2. 已知函数(f(x)=\frac{1}{x})，判断它在区间((0,+\infty))上的单调性，并证明。

        教学反思

        在本节课的教学中,通过创设情境引入新课，激发了学生的学习兴趣，在探究函数单调性概念的过程中，让学生通过自主观察、分析、讨论，培养了学生的探究能力和合作精神，在例题讲解和课堂练习环节，注重引导学生掌握证明函数单调性的方法和步骤，及时反馈学生的学习情况，进行有针对性的指导，但在教学过程中，发现部分学生对函数单调性概念的理解还不够深刻，用定义证明函数单调性时，逻辑推理不够严谨，在今后的教学中，还需要加强对这部分内容的训练，帮助学生更好地掌握函数单调性的相关知识。

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