定比点差法教学设计

教学目标

知识与技能目标

• 学生理解定比点差法的原理,掌握其基本公式和应用方法。
• 能够运用定比点差法解决椭圆、双曲线中的中点弦、弦长等相关问题。

过程与方法目标

• 通过自主探究、小组合作等方式,培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
• 经历定比点差法的推导过程,体会数学中的化归与转化思想。

情感态度与价值观目标

• 激发学生对数学的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
• 让学生在解决问题的过程中，感受数学的严谨性和美妙之处,增强学习数学的自信心。

教学重难点

1. 教学重点

• 定比点差法的概念和公式推导。
• 运用定比点差法解决椭圆、双曲线中的相关问题。

2. 教学难点

• 理解定比点差法的本质,灵活运用其解决各种复杂的圆锥曲线问题。
• 引导学生在解题过程中准确找到合适的定比关系,并进行正确的运算。

教学方法

讲授法、讨论法、练习法相结合,注重引导学生自主思考和探索。

教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

复习回顾

• 提问学生椭圆和双曲线的标准方程、性质以及中点坐标公式等基础知识。
• 通过简单的例题,让学生回顾利用韦达定理解决圆锥曲线弦中点问题的方法。

情境引入

• 展示一个关于椭圆或双曲线弦中点的问题，如：已知椭圆方程(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0))，过椭圆内一点(M(x_0,y_0))作一条直线交椭圆于(A)、(B)两点，求弦(AB)中点的轨迹方程。
• 引导学生思考，若用常规方法设直线方程，联立椭圆方程求解，计算量较大，有没有更简便的方法呢？从而引出本节课的主题——定比点差法。

（二）讲授新课（20 分钟）

定比点差法的概念

• 给出定义：设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))是圆锥曲线上的两点，点(P(x_0,y_0))分线段(AB)所成的比为(\lambda)，即(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB})，则称点(P)为(A)、(B)两点的定比分点，若已知(A)、(B)两点在圆锥曲线上，利用定比分点坐标公式(x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda})，(y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})，结合圆锥曲线方程，通过作差化简得到的方法,称为定比点差法。
• 以椭圆(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0))为例进行推导：已知(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))在椭圆上，则(\begin{cases}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{cases})设(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB})，则(x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda})，(y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})将(x_1=(1+\lambda)x_0-\lambda x_2)，(y_1=(1+\lambda)y_0-\lambda y_2)代入椭圆方程(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1)中，得：(\frac{((1+\lambda)x_0-\lambda x_2)^2}{a^2}+\frac{((1+\lambda)y_0-\lambda y_2)^2}{b^2}=1)展开并化简，再结合(\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1)，两式相减，经过一系列运算得到定比点差法的公式：(\frac{x_0(x_1 - x_2)}{a^2}+\frac{y_0(y_1 - y_2)}{b^2}=0)同理可推导出双曲线的定比点差法公式。

定比点差法的应用

• 例 1：已知椭圆(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)，过点(P(1,1))作直线交椭圆于(A)、(B)两点，求弦(AB)中点(M)的轨迹方程。
• 分析：设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，(M(x,y))，由(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB})可得定比关系,再利用定比点差法公式求解。
• 解：设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，(M(x,y))，因为(M)为(AB)中点，则(x=\frac{x_1 + x_2}{2})，(y=\frac{y_1 + y_2}{2})。设(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB})，则(x_1 + \lambda x_2 = (1 + \lambda)x)，(y_1 + \lambda y_2 = (1 + \lambda)y)。因为(A)、(B)在椭圆(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)上，\begin{cases}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\end{cases})两式相减得：(\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{4}+\frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{3}=0)将(x_1 + \lambda x_2 = (1 + \lambda)x)，(y_1 + \lambda y_2 = (1 + \lambda)y)代入上式，并化简可得：(\frac{x(x_1 - x_2)}{4}+\frac{y(y_1 - y_2)}{3}=0)又因为(\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}=\frac{y - 1}{x - 1})（直线(AB)的斜率），代入上式整理得：(3x^2 + 4y^2 - 3x - 4y = 0)所以弦(AB)中点(M)的轨迹方程为(3x^2 + 4y^2 - 3x - 4y = 0)（在椭圆(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)内部的部分）。

（三）课堂练习（15 分钟）

1. 已知双曲线(x^2 - \frac{y^2}{2}=1)，过点(P(1,1))作直线交双曲线于(A)、(B)两点，若(P)为(AB)中点，求直线(AB)的方程。
2. 椭圆(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1)，过点(M(1,1))的直线交椭圆于(C)、(D)两点，若(\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD})，求直线(CD)的方程。

学生分组进行练习，教师巡视指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误，练习结束后，选取部分学生进行板演，讲解解题思路和过程,教师进行点评和总结。

（四）课堂小结（5 分钟）

1. 引导学生回顾定比点差法的概念、公式推导过程以及应用方法。
2. 总结定比点差法在解决圆锥曲线中点弦、弦长等问题中的优势和注意事项。
3. 强调化归与转化思想在定比点差法中的体现,鼓励学生在今后的学习中善于运用数学思想方法解决问题。

（五）布置作业（5 分钟）

1. 已知椭圆(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1)，过点(Q(2,1))作直线交椭圆于(E)、(F)两点，若(Q)为(EF)中点，求直线(EF)的方程。
2. 思考：定比点差法是否可以推广到抛物线中？如果可以,如何推导其公式并应用？

教学反思

通过本节课的教学，学生对定比点差法有了初步的认识和理解，能够运用定比点差法解决一些简单的圆锥曲线问题，在教学过程中，注重引导学生自主探究和小组合作，培养了学生的逻辑推理能力和数学运算能力，但在教学过程中也发现了一些问题，部分学生对定比点差法的本质理解不够深刻，在解题时不能灵活运用，在今后的教学中，需要加强对学生思维能力的训练，通过更多的例题和练习，让学生熟练掌握定比点差法，提高解题能力。

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