函数的单调性教案

教学目标

1. 知识与技能目标
   • 理解函数单调性的概念,能根据函数图象判断函数的单调性。
   • 会运用定义证明函数在某一区间上的单调性。
2. 过程与方法目标
• 通过对函数单调性定义的探究,培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
• 在证明函数单调性的过程中,提高学生的推理论证能力。
3. 情感态度与价值观目标

通过本节课的学习,让学生体会数学的严谨性，激发学生学习数学的兴趣。

教学重难点

1. 教学重点
   • 函数单调性的概念和判断函数单调性的方法。
   • 用定义证明函数的单调性。
2. 教学难点
• 对函数单调性定义中“任意”二字的理解。
• 用定义证明函数单调性时,如何进行合理的变形和推理。

教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

教学过程

（一）创设情境，引入新课

1. 展示气温变化图（以某地区一天的气温变化为例），引导学生观察气温随时间的变化情况。
   • 提问：气温在哪些时间段是上升的？哪些时间段是下降的？
   • 学生回答后,指出气温上升或下降的过程体现了函数的一种重要性质——单调性。
2. 展示股票价格走势图,让学生观察股票价格的变化趋势，进一步体会函数单调性在实际生活中的体现。

（二）探究函数单调性的概念

1. 给出几个具体函数的图象,如(y = 2x + 1)，(y = -x^2 + 2x)，(y=\frac{1}{x})等，让学生观察图象的变化趋势。
   • 以(y = 2x + 1)为例，引导学生发现：当(x)增大时，(y)的值也随之增大。
   • 提问：对于函数(y = -x^2 + 2x)，当(x)在什么范围内增大时，(y)的值增大？当(x)在什么范围内增大时，(y)的值减小？
   • 学生观察并回答后,总结出函数单调性的直观描述：函数图象在某个区间上从左到右上升，则函数在该区间上单调递增；函数图象在某个区间上从左到右下降，则函数在该区间上单调递减。
2. 给出函数单调性的严格定义：
• 设函数(f(x))的定义域为(I)，如果对于定义域(I)内的某个区间(D)上的任意两个自变量的值(x_1)，(x_2)，当(x_1 < x_2)时，都有(f(x_1) < f(x_2))，那么就说函数(f(x))在区间(D)上是增函数；当(x_1 < x_2)时，都有(f(x_1) > f(x_2))，那么就说函数(f(x))在区间(D)上是减函数。
• 如果函数(y = f(x))在区间(D)上是增函数或减函数，那么就说函数(y = f(x))在这一区间具有（严格的）单调性，区间(D)叫做(y = f(x))的单调区间。
• 强调定义中的“任意”二字，让学生思考其重要性。
3. 结合具体函数,进一步理解函数单调性的定义。
• 对于函数(f(x)=x^2)，判断它在((-\infty,0))和((0,+\infty))上的单调性。
• 设(x_1,x_2\in(-\infty,0))，且(x_1 < x_2)，则(f(x_1)-f(x_2)=x_1^2 - x_2^2=(x_1 - x_2)(x_1 + x_2))。
• 因为(x_1 < x_2 < 0)，x_1 - x_2 < 0)，(x_1 + x_2 < 0)，f(x_1)-f(x_2)>0)，即(f(x_1)>f(x_2))，f(x))在((-\infty,0))上是减函数。
• 同理,可证明(f(x))在((0,+\infty))上是增函数。

（三）例题讲解

1. 例1如图是定义在区间([-5,5])上的函数(y = f(x))，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

   • 学生观察图象后回答：函数(y = f(x))的单调区间有([-5,-2))，([-2,1))，([1,3))，([3,5])。
   • 在区间([-5,-2))上是减函数，在区间([-2,1))上是增函数，在区间([1,3))上是减函数，在区间([3,5])上是增函数。

   例2证明函数(f(x)=3x + 2)在(R)上是增函数。

   • 证明：设(x_1,x_2)是(R)上的任意两个实数，且(x_1 < x_2)。
   • 则(f(x_1)-f(x_2)=(3x_1 + 2)-(3x_2 + 2)=3(x_1 - x_2))。
   • 因为(x_1 < x_2)，x_1 - x_2 < 0)，3(x_1 - x_2) < 0)，即(f(x_1)-f(x_2)<0)，f(x_1)<f(x_2))。
   • 所以函数(f(x)=3x + 2)在(R)上是增函数。

   例3判断函数(f(x)=\frac{1}{x})在((0,+\infty))上的单调性，并证明。

   • 证明：设(x_1,x_2\in(0,+\infty))，且(x_1 < x_2)。
   • 则(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})。
   • 因为(x_1,x_2\in(0,+\infty))，且(x_1 < x_2)，x_2 - x_1 > 0)，(x_1x_2 > 0)，\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}>0)，即(f(x_1)-f(x_2)>0)，f(x_1)>f(x_2))。
   • 所以函数(f(x)=\frac{1}{x})在((0,+\infty))上是减函数。

   （四）课堂练习

   1. 课本练习第1、2题。
   2. 判断函数(f(x)=x^3)在(R)上的单调性，并证明。

   （五）课堂小结

   1. 引导学生回顾函数单调性的概念、判断方法及证明步骤。
      • 函数单调性的定义：设函数(f(x))的定义域为(I)，对于定义域(I)内某个区间(D)上的任意两个自变量的值(x_1)，(x_2)，当(x_1 < x_2)时，若(f(x_1) < f(x_2))，则函数(f(x))在区间(D)上是增函数；若(f(x_1) > f(x_2))，则函数(f(x))在区间(D)上是减函数。
      • 判断方法：根据函数图象观察或利用定义判断。
      • 证明步骤：设值、作差、变形、定号、下结论。
   2. 强调本节课的重点和难点,鼓励学生在课后继续思考和练习。

   （六）布置作业

   1. 书面作业：课本习题1.3 A组第1、2、3题。
   2. 思考作业：
      • 函数(f(x))在区间(D_1)，(D_2)上都是增函数，f(x))在(D_1\cup D_2)上一定是增函数吗？举例说明。
      • 若函数(f(x))满足(f(a) < f(b))，则函数(f(x))在区间([a,b])上是增函数吗？为什么？

      教学反思

      通过本节课的教学,学生对函数单调性的概念有了较为清晰的理解，能够运用定义判断和证明函数的单调性，在教学过程中，通过创设情境、引导探究、例题讲解和课堂练习等环节，逐步培养了学生的观察、归纳、抽象、推理论证等能力，但在教学中也发现部分学生对定义中“任意”二字的理解还不够深刻，在证明过程中对变形和推理的把握还存在一定困难，需要在今后的教学中加强针对性的训练和指导。

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